Comentario del curso

Antes de que empiece a recibir las notas (y que influyan en mis opiniones), me gustaría comentar lo que ha sido para mi el curso , tanto a nivel intelectual como personal y dar mi humilde opinión sobre los profesores que he tenido la suerte que me den clase.

Tengo que admitir que empece el curso con algo de miedo , todo el mundo decía que era muy dificil y que lo primero que necesitabas era un bote de vaselina , porque te iban a dar pero bien. Una vez comenzado el curso te das cuenta que echandole las suficientes horas no tiene porque ser así.

Llevaba años esperando para llegar a la carrera de aeronáutica y lo primero que te encuentras son matematicas, fisica y más matematicas, lo que te hace decir "¿y esto para que me sirve?" , menos mal que en ese primer cuatrimestre tienes tecnologia aeroespacial que te ilusiona al ver que tiene algo que ver con lo que realmente te interesa, eso unido a un grandisímo profesor , que sinceramente ha sido uno de los mejores que he tenido, hacia que fuera facil de comprender y aprobar. Por desgracia este profesor nos dejo a mitad de cuatrimestre por otro ,que si bien no era malo no alcanzaba el nivel del anterior.
Por otro lado no todo fue bueno como en aeroespacial, fisica y algebra se complicaban de una manera increible.
Eso referente al primer cuatrimestre.

Respecto al segundo, ya vas mas rodado y ,en mi caso, mas aplicado, eso junto con que haya profesores que ya te han dado clase hace que conozcas mejor lo que quieren , su forma de llevar la clase,etc, hace mas llevadero el 2º cuatrimestre.
De este segundo cuatrimestre la sorpresa fue que pasaran lista en expresion grafica , lo que nos obligaba a ir a clase, lo que visto en retrospectiva nos beneficio.Me acuerdo del revuelo que se formaba con lo de sacar a alguien a la pizarra, llego ha haber pactos jajaja. El profesor de esta asignatura es capaz de hacerte muy amena la clase y de pronto , ponertelos de corbata . Pero en general ha sido tambien muy buen profesor.

En cuanto a la gente que he conocido en la universidad la verdad es que ha sido fantastica , no ha habido mal rollo en ningun momento y me satisface decir que he hecho muchos amigos.Lo peor es que es muy dificil que volvamos a estar todos juntos, ya que algunos se van al ejercito, otros a otra carrera ,etc.
De todas formas gracias por este curso

Geometria en el Automovilismo

Siguiendo con la linea de la Geometria en los Deportes, este articulo trata acerca de en lo que afectan las medidas y los angulos entre los distintos elementos de un automovil en referencia al su comportamiento.

Las medidas y las proporciones de un vehiculo son esenciales en su comportamiento, ya que lo pueden modificar drasticamente (por ello unos coches son mas bajos, mas altos, mas anchos, mas estrechos...). Asi, la distancia entre las ruedas de un mismo eje, denominada via, cambia de forma notable en el paso por las curvas, ya que una menor distancia entre las ruedas haria un coche mas agil para las curvas un un radio de giro pequeño, mientras que un coche mas ancho haria que el vehiculo se mantuviese mejor en las curvas con un amplio radio de giro.

(via del eje delantero)

La distancia entre los ejes delantero y trasero, denominada batalla, afecta al comportamiento del vehiculo en la medida de que al hacer el vehiculo mas largo, este gana estabilidad, mientras que si acortamos dicha distancia, el vehiculo se volvera mas agil, algo beneficioso en curvas con un radio de giro relativamente pequeño.

Otro elemento mas que afecta al comportamiento del vehiculo es lo llamado convergencia y divergencia, es decir, el angulo que forman las ruedas con el eje que uno ambos lados del vehiculo. Asi, si en un mismo eje medimos la distancia entre la parte delantera de la rueda es menor que en la trasera, hablamos de convergencia, mientras que si la distancia entre la parte delantera de las ruedas es mayor que la trasera, hablamos de divergencia. Refiriendonos al comportamiento, un vehiculo convergente seguira una trayectoria recta mejor que uno divergente, ya que la divergencia aporta mayor direccion al vehiculo debido a que al actuar sobre la direccion del mismo, la rueda interior en una curva forma un angulo mayor respecto al eje de simetria del vehiculo.

Por ultimo, hablaremos de la caida, que es el angulo que forma la rueda con respecto a la recta perpendicular al plano del suelo. Con esto variamos el punto en el que la rueda toca con el asfalto, variando asi de distintas formas el agarre del vehiculo. Esta caida puede ser tanto positiva (la parte superior de la rueda va hacia fuera del vehiculo) o negatia (la rueda se inclina hacia el vehiculo en su parte superior)

(vista desde el frente)

La Divina Proporción

La divina proporción o proporción aurea, como su nombre indica es una proporcion, pero un tanto curiosa. Su valor es:



La proporcion aurea ya fue descubierta en la antiguedad, muestra de ello es que esta relacion es seguida en el partenon y las piramides


Lo mas curioso de esta proporcion es que se le atribuye un caracter estético, y es cierto ya que esta relacion es agradable a la vista , por ello es la que seguían los artistas de la antiguidad a la hora de hacer edificios, escultura, etc.
Pero esta relacion no solo se limita a las construcciones humanas sino que aparece con bastante frecuencia en la naturaleza, un buen ejemplo es la concha del nautilus:


Además esta proporcion aparece en numerosos objetos:

• La relacion entre los lados de el carnet de conducir, el dni y las tarjetas de credito, es la proporcion aurea
• La relacion entre el palo vertical y el palo horizontal de la cruz cristiana también es esta proporcion
• La relacion entre el numero de machos y hembras de abejas también es esta relacion

En el cuerpo humano también aparece bastante veces esta relacion:

• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
• La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
• Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
• Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

Por último aqui dejo un video de Disney sobre la proporcion aurea, donde vienen numerosos ejemplos:

Geometria en la naturaleza

Aunque hay cosas en la geometria y el dibujo que no son propias de la naturaleza, aqui mostramos como cosas como el paralelismo , haces, etc. Tambien se encuentran en la naturaleza

Paralelismo de unas rocas


Secciones conicas


Convergencia


Brocoli fractal

VISORES DE TIRO: Una aplicación de la geometría proyectiva.

El tiro Aire-Aire.

El tiro aire-aire es como se define al disparo efectuado desde un avión con la intención de alcanzar otro objeto volador.

Es por sí mismo algo complejo por naturaleza como comprenderá todo aquel que alguna vez haya practicado el tiro deportivo, la caza…o incluso que haya intentado hacer blanco con una piedra a cualquier objeto.

El proyectil siempre seguirá una trayectoria curva debido a la gravedad, si a esto le añadimos que el blanco se encuentra en movimiento en el espacio,con tres posibles direcciones de variación, y que la plataforma de disparo ( el avión propio también lo esta parece imposible que se logre un solo disparo certero

Evolución de los visores.

Los primeros visores que se utilizaron eran visores fijos de “anillo y varilla”.

Estos visores tenían un anillo como el de la imagen en el morro del avión y algo más cerca de la cabina tenían una varilla haciendo coincidir ambos, como en la imagen 1, lograban apuntar. Además basándose en la relación entre el diámetro del anillo y del fuselaje del avión enemigo, y conociendo el tamaño real de ambos por proporcionalidad lograban saber cuando el avión enemigo estaba al alcance de sus cañones para no malgastar munición, esto lo aprendían con experiencia. Figura.1

Además, ya que no es igual apuntar a algo que se mueve de frente, es decir el movimiento relativo horizontal y vertical es nulo, a apuntar a algo que se mueve en una dirección perpendicular a la tuya que conlleva una corrección de disparo máxima, con este sistema también podrían calcular la corrección necesaria. (En el siguiente articulo se analizara más a fondo la corrección de tiro.)

El segundo tipo “visor óptico”.

Su uso comienza a finales de La I Guerra Mundial y principios de la II Guerra Mundial.

Se conocen como visores ópticos y son muy similares a los que se utilizan actual mente en un rifle. Para que el piloto apuntara bien, debía colocar su ojo junto al visor y justo en el punto donde se proyecta la imagen del avión rival (Figura 2). De no hacerlo así no consigue una imagen nítida, o una imagen completa… . Es decir, el defecto en la imagen era la señal que tenía el piloto para saber que su puntería era errónea.

El uso de estos visores fue muy breve y pronto dejaron de usarse.

El tercer tipo “visor de reflexión”.

Este fue el visor utilizado en la II Guerra Mundial. Consiste en uno o varios círculos concéntricos proyectados sobre un cristal transparente para que el piloto viese el blanco.

Este cristal a pesar de ser transparente reflejaba el visor para que el piloto viese al blanco y al visor. Esto se conseguía enfocando al infinito el visor y así al ajustar el piloto su vista al blanco veía nítidamente ambos. (Figura. 3 de derecha a izda)

Alguno de ellos tenía la posibilidad de ajustar unas barras luminosas al fuselaje del blanco para así calcular la distancia. También se proyectaba en el centro una cruz o un punto conocidos como PIPPER.

Figura. 2 y 3 (arriba y abajo respectivamente.)

Estos son unos de los primeros visores de la historia. En todos ellos se utiliza la geometría proyectiva como base de las mediciones que permitan la puntería.

En los siguientes artículos seguiremos con la evolución de los visores a lo largo de la historia.

Si quereis ver un video relacionado con el tema.http://www.youtube.com/watch?v=Lt8G3vxLmKE&feature=related

Apolonio: breve biografia. El problema de Apolonio

Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y
que tiene este enunciado:
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede
ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar
una circunferencia que sea tangente a cada uno de los
tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de
ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.
Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos
y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros
seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos
y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos
circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia)
en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos
restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias)
en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente
estos libros se han perdido, a través de Pappus de
Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los
nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el
primer matemático que resolvió por medio de la regla y el
compás el problema de encontrar la circunferencia tangentes a otras tres circunferencias.

EL PROBLEMA DE APOLONIO

Al hacer las combinaciones de tres objetos (puntos, rectas o circunferencias) resultan los
casos siguientes:
1. Dados tres puntos no colineales, construir una circunferencia que los contenga.
2. Dadas tres rectas, construir una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
3. Dados dos puntos y una recta, construir una circunferencia tangente a la recta y
que contenga a los dos puntos.
4. Dadas dos rectas y un punto, construir una circunferencia que sea tangente a las
dos rectas y que contenga al punto.
5. Dados dos puntos y una circunferencia, construir una circunferencia que contenga
a los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada.
Memorias XVI encuentro de geometría y IV de aritmética
6. Dadas dos circunferencias y un punto, construir una circunferencia que contenga al
punto y que sea tangente a las dos circunferencias dadas.
7. Dadas dos rectas y una circunferencia, construir una circunferencia que sea tangente
a las rectas y a la circunferencia dada.
8. Dadas dos circunferencias y una recta, construir una circunferencia que sea tangente
a la recta y a las dos circunferencias dadas.
9. Dadas una circunferencia, una recta y un punto, construir una circunferencia que
pase por el punto y sea tangente a la recta y la circunferencia dada.
10. Dadas tres circunferencias, construir una circunferencia que sea tangente a tres
circunferencias dadas.

Problema 1: Dados tres puntos no colineales, construir
una circunferencia que los contenga.
Pasos para la construcción:
1) Trazar los segmentos AB y BC.
2) Trazar las mediatrices de los segmentos AB y BC. (M1 y M2)
3) Señalar la intersección de las mediatrices M1 y M2. (Circuncentro o)
4) Dibujar la circunferencia de centro o y radio OA.



Problema 2: Dadas tres rectas, construir una
circunferencia que sea tangente a las tres rectas.

Caso 1: Si dos de las rectas son paralelas.

1) Sean R1 y R2 las rectas paralelas, y T1 la recta transversal.
2) Trazar la recta media paralela a R1 y R2. (Ya que los centros de las circunferencias
tangentes estarán en esta recta)
3) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R1 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes).
4) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R2 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes)
5) Señalar la intersección de R1 y T1, y la intersección de R2 y T1. (Puntos P y Q)
6) Trazar segmentos que pasen por P y Q perpendiculares respectivamente a R1.
(Aquí se determinan los radios de las circunferencias)
7) Trazar las circunferencias con centros en P y Q, respectivamente.



Caso 2: Si las tres rectas se cortan entre sí


Problema 3: Dados dos puntos y una recta, construir
una circunferencia tangente a la recta y que contenga
a los dos puntos.

Caso 1: Si los dos puntos dados A y B están en una recta paralela a la recta
L dada.

1) Se construye un punto C sobre la recta L.
2) Se traza la mediatriz del segmento AB
3) C es la intersección de la mediatriz y la recta dada.
4) Se construye la circunferencia que contiene a los puntos A, B y C.





Caso 2: Si los puntos A y B no están en una recta paralela a la recta L.
1) Trazamos la recta AB.
2) Hallamos la intersección de AB y la recta L. (El punto de intersección es M).
3) Trazar la circunferencia C1 de diámetro AB


4) Desde M trazar una tangente a la circunferencia C1.
5) Marcar el punto de tangencia T.
6) Trazar circunferencia con centro M y radio MT.


7) Hallar intersecciones entre la recta L y la circunferencia C2. (P y Q)
8) Construir las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q.




Caso 3: Cuando uno de los puntos est´a sobre la recta L.
1) Trazar el segmento AB.
2) Trazar la mediatriz del segmento AB.
3) Trazar perpendicular a la recta L, que pase por B.
4) Hallar intersecci´on de la mediatriz y la perpendicular a L. ( Punto C )
5) Trazar circunferencia con centro C y radio BC:




Caso 4: Cuando los puntos est´an sobre una recta perpendicular a la recta L.
1) Trazar la recta AB.
2) Señalar la intersecci´on de las recta L y AB. (punto P).
3) Hallar el punto medio M1 entre los puntos A y B. (La distancia PM1 es el radio de
la circunferencia buscada).
4) Trazar la perpendicular a la recta AB que pase por M1. (Sobre esta perpendicular
estará el centro de la circunferencia buscada).
5) Trazar la circunferencia con centro Ay radio PM1.
6) Marcar la intersecci´on entre la perpendicular 1 y la circunferencia CA. (punto C,
será el centro de la circunferencia buscada.
7) Trazar circunferencia con centro C y radio CA.




Problema 4: Dadas dos rectas y un punto, construir
una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y
que contenga al punto.

Caso 1: Si las rectas se cortan y el punto queda comprendido entre ellas.

1) Trazar la bisectriz del ángulo formado por las rectas L y M.
2) Hallar simétrico del punto A respecto a la bisectriz. (Simétrico de A es B)
3) Realizar la construcción del problema 3: (P-P-R).



Caso 2: Si el punto dado A pertenece a una de las rectas dadas.

1) Trazar perpendicular P a la recta L por el punto A.
2) Trazar las bisectrices de los ángulos determinados por las dos rectas.
3) Hallar intersecciones entre la perpendicular y las bisectrices. ( P y Q )
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas.



Caso 3: El punto A está comprendido entre dos rectas que son paralelas.
1) Trazar circunferencia con centro A y diámetro igual a distancia entre las rectas.
2) Trazar la paralela media M.
3) Hallar intersecciones entre la circunferencia y la paralela media. ( P y Q ).
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas y los radio son AP y AQ.
Si el punto B est´a en una de las dos rectas dadas, la construcción se reduce a encontrar
el centro, que es la intersecci´on entre la media paralela y la recta que pasa por B y es
perpendicular a la media paralela.


Problema 5: Dados dos puntos y una circunferencia,
construir una circunferencia que contenga a los dos
puntos y sea tangente a la circunferencia dada.


Caso 1: Si los puntos A y B son exteriores a la circunferencia dada.

1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)




Caso 2: Si los puntos A y B son interiores a la circunferencia dada.

La construcción es similar a la anterior:
1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)





Caso 3: Si uno de los puntos (A) est´a sobre la circunferencia dada y el otro
punto (B) es exterior (o interior) a la circunferencia C.

1) Trazar la recta AC.
2) Trazar el segmento AB.
3) Trazar la mediatriz del segmento AB.
4) Hallar intersecci´on de la AC y la mediatriz de AB (punto C1, que será el centro de
la circunferencia pedida.
5) Construir la circunferencia de centro C1 radio AC1.






Problema 6: Dadas dos circunferencias y un punto,
construir una circunferencia que contenga al punto y
que sea tangente a las dos circunferencias dadas.


Caso 1: Cuando el punto P es exterior a ambas circunferencias.

1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar el segmento C1C2 (Que uno los centros de las circunferencias dadas)
3) Hallar las intersecciones del segmento C1C2 con las circunferencias dadas.
4) Trazar la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P.
5) Trazar el segmento PH. (Une el punto P con el centro de homotecia H).
6) Hallar la intersecci´on entre el segmento PH y la circunferencia ABP. (punto M).
7) Ocultar las rectas tangentes, el segmento C1C2, los puntos A, B, H y K.
8) Para desarrollar el paso (9), seguir el problema 5 (P-P-C).
9) Construir la circunferencia que pasa por P y M, tangente a la circunferencia C1.
(Resultan dos circunferencias -rojas- que son las circunferencias pedidas).
10) Se pueden obtener dos circunferencias m´as, repitiendo los pasos anteriores para el
centro de homotecia inverso K.






Caso 2: Cuando el punto P pertenece a una de las circunferencias (C2).
1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar la recta PH. (del punto P al centro de homotecia H).
3) Hallar la intersecci´on de la recta PH con la circunferencia C1 (punto Q).
4) P y Q son los puntos de tangencia para una de las circunferencias buscadas.
5) Trazar las semirrectas C1Q y C2P.
6) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1Q y C2P. (punto T1, este es el centro de
una de las circunferencias buscadas).
7) Trazar la circunferencia de centro T1 y radio T1P. (circunferencia roja).
8) Ahora, trazar la recta PK. (del punto P al centro de homotecia inverso K).
9) Hallar la intersecci´on entre la recta PK y la circunferencia C1. (punto R)
10) P y R son los puntos de tangencia para otra de las circunferencias buscadas.
11) Trazar las semirrectas C1R y C2P.
12) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1R y C2P. (punto T2, este es el centro de
otra de las circunferencias buscadas).
13) Trazar la circunferencia de centro T2 y radio T2P. (circunferencia roja).




Problema 7: Dadas dos rectas y una circunferencia,
construir una circunferencia que sea tangente a las
rectas y a la circunferencia dada.

Caso 1: Cuando las rectas son paralelas y la circunferencia es tangente a las
dos rectas.







Caso 2: Cuando la circunferencia est´a comprendida entre dos rectas L y M.
1) Determinar el radio de la circunferencia dada O.
2) Trazar paralelas a cada lado de la recta L, a una distancia igual al radio de la
circunferencia O. (Rectas L1 y L2).
3) Trazar la bisectriz del ´angulo formado por las rectas L y M.
4) Hallar el sim´etrico del centro O respecto a la bisectriz. (punto O´)
5) Trazar la recta OO´.
6) Se˜nalar la intersecci´on entre la recta OO´y la recta paralela L1. (punto M).
7) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia de di´ametro OO´. Marcar los puntos
de tangencia D y E.
8) Trazar la circunferencia con centro en M y radio MD.
9) Hallar las intersecciones de la paralela L1 con la circunferencia CM de centro M.
(puntos A y B).
10) Trazar perpendiculares a la paralela L1 por los puntos A y B.
11) Hallar las intersecciones de las perpendiculares halladas con la bisectriz. (puntos P
y Q).
12) Los puntos P y Q son los centros de las circunferencias buscadas. Trazar circunferencias
con centros en P y Q tangentes a las rectas L y M.
13) Si se siguen estos pasos para la recta paralela L2, se obtienen otras dos

Pitágoras en la hora de José Mota

Tras desfilar numerosos personajes por la hora de Jose Mota , la semana pasada le toco a Pitágoras

Continua la serie

Para la gente inteligente que se meta en este blog , haber quien sabe cual es el siguente numero de la serie

2,10,12,16,17,18,19....

La respuesta es 200, el porque de los numeros es porque todos empienzan por la letra D

Geometria en los deportes: esqui

Fue en el año 96 que Elan planteó un cambio radical. Basados en un proyecto antiguo, surgido a mediados de los 70, esta marca propone cambiar la forma de la base de los esquies. Al variar la geometría varia el funcionamiento y el andar del esqui, facilitando de sobremanera el giro y control en la pista.

Es inédito en lo que a productos se refiere que un cambio de forma incida directamente en la función. Y lo que es mas raro aún es que a partir de este cambio surjan nuevos productos,nuevos usos y nuevas actividades en la montaña. Hubo a partir de allí una gran diversidad de alternativas reunidas en grupos de esquies.

El carving es entonces, un esqui con una forma de base muy pronunciada. La curva de los cantos es exagerada y puede verse a simple vista. La diferencia de sección entre las puntas y el patín es notoria. La curva de los cantos se determina mediante un radio teórico, que normalmente se observa como dato en todos los esquíes modernos.



Geométricamente hablando, a un radio de giro menor (desde 9 a 14 metros), corresponde una geometría mas pronunciada, el esquí se vera mas gordo en las puntas y tendrá un comportamiento mas agresivo y deportivo; describirá en su andar teórico curvas cortas. A un mayor radio de giro, corresponde un perfil de esqui mas suave, porque los giros teóricos serán mas amplios; por esto el esquí tendrá un andar menos brusco.

Cuadratura de superficies curvilineas

Solo existen cinco figuras curvilineas que pueden cuadrarse. Las tres primeras fueron creadas por Hipocrates de Quio (Siglo V a.C) quien las llamo lúnulas . Leonard Euler en el siglo XVIII descubrio dos mas.
De todas formas las lunulas son casos excepcionales de un problema irresoluble como es la cuadratura del circulo
Aqui algunas de las lunulas