Apolonio: breve biografia. El problema de Apolonio
Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y
que tiene este enunciado:
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede
ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar
una circunferencia que sea tangente a cada uno de los
tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de
ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.
Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos
y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros
seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos
y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos
circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia)
en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos
restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias)
en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente
estos libros se han perdido, a través de Pappus de
Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los
nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el
primer matemático que resolvió por medio de la regla y el
compás el problema de encontrar la circunferencia tangentes a otras tres circunferencias.
EL PROBLEMA DE APOLONIO
Al hacer las combinaciones de tres objetos (puntos, rectas o circunferencias) resultan los
casos siguientes:
1. Dados tres puntos no colineales, construir una circunferencia que los contenga.
2. Dadas tres rectas, construir una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
3. Dados dos puntos y una recta, construir una circunferencia tangente a la recta y
que contenga a los dos puntos.
4. Dadas dos rectas y un punto, construir una circunferencia que sea tangente a las
dos rectas y que contenga al punto.
5. Dados dos puntos y una circunferencia, construir una circunferencia que contenga
a los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada.
Memorias XVI encuentro de geometría y IV de aritmética
6. Dadas dos circunferencias y un punto, construir una circunferencia que contenga al
punto y que sea tangente a las dos circunferencias dadas.
7. Dadas dos rectas y una circunferencia, construir una circunferencia que sea tangente
a las rectas y a la circunferencia dada.
8. Dadas dos circunferencias y una recta, construir una circunferencia que sea tangente
a la recta y a las dos circunferencias dadas.
9. Dadas una circunferencia, una recta y un punto, construir una circunferencia que
pase por el punto y sea tangente a la recta y la circunferencia dada.
10. Dadas tres circunferencias, construir una circunferencia que sea tangente a tres
circunferencias dadas.
Problema 1: Dados tres puntos no colineales, construir
una circunferencia que los contenga.
Pasos para la construcción:
1) Trazar los segmentos AB y BC.
2) Trazar las mediatrices de los segmentos AB y BC. (M1 y M2)
3) Señalar la intersección de las mediatrices M1 y M2. (Circuncentro o)
4) Dibujar la circunferencia de centro o y radio OA.
Problema 2: Dadas tres rectas, construir una
circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
Caso 1: Si dos de las rectas son paralelas.
1) Sean R1 y R2 las rectas paralelas, y T1 la recta transversal.
2) Trazar la recta media paralela a R1 y R2. (Ya que los centros de las circunferencias
tangentes estarán en esta recta)
3) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R1 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes).
4) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R2 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes)
5) Señalar la intersección de R1 y T1, y la intersección de R2 y T1. (Puntos P y Q)
6) Trazar segmentos que pasen por P y Q perpendiculares respectivamente a R1.
(Aquí se determinan los radios de las circunferencias)
7) Trazar las circunferencias con centros en P y Q, respectivamente.
Caso 2: Si las tres rectas se cortan entre sí
Problema 3: Dados dos puntos y una recta, construir
una circunferencia tangente a la recta y que contenga
a los dos puntos.
Caso 1: Si los dos puntos dados A y B están en una recta paralela a la recta
L dada.
1) Se construye un punto C sobre la recta L.
2) Se traza la mediatriz del segmento AB
3) C es la intersección de la mediatriz y la recta dada.
4) Se construye la circunferencia que contiene a los puntos A, B y C.
Caso 2: Si los puntos A y B no están en una recta paralela a la recta L.
1) Trazamos la recta AB.
2) Hallamos la intersección de AB y la recta L. (El punto de intersección es M).
3) Trazar la circunferencia C1 de diámetro AB
4) Desde M trazar una tangente a la circunferencia C1.
5) Marcar el punto de tangencia T.
6) Trazar circunferencia con centro M y radio MT.
7) Hallar intersecciones entre la recta L y la circunferencia C2. (P y Q)
8) Construir las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q.
Caso 3: Cuando uno de los puntos est´a sobre la recta L.
1) Trazar el segmento AB.
2) Trazar la mediatriz del segmento AB.
3) Trazar perpendicular a la recta L, que pase por B.
4) Hallar intersecci´on de la mediatriz y la perpendicular a L. ( Punto C )
5) Trazar circunferencia con centro C y radio BC:
Caso 4: Cuando los puntos est´an sobre una recta perpendicular a la recta L.
1) Trazar la recta AB.
2) Señalar la intersecci´on de las recta L y AB. (punto P).
3) Hallar el punto medio M1 entre los puntos A y B. (La distancia PM1 es el radio de
la circunferencia buscada).
4) Trazar la perpendicular a la recta AB que pase por M1. (Sobre esta perpendicular
estará el centro de la circunferencia buscada).
5) Trazar la circunferencia con centro Ay radio PM1.
6) Marcar la intersecci´on entre la perpendicular 1 y la circunferencia CA. (punto C,
será el centro de la circunferencia buscada.
7) Trazar circunferencia con centro C y radio CA.
Problema 4: Dadas dos rectas y un punto, construir
una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y
que contenga al punto.
Caso 1: Si las rectas se cortan y el punto queda comprendido entre ellas.
1) Trazar la bisectriz del ángulo formado por las rectas L y M.
2) Hallar simétrico del punto A respecto a la bisectriz. (Simétrico de A es B)
3) Realizar la construcción del problema 3: (P-P-R).
Caso 2: Si el punto dado A pertenece a una de las rectas dadas.
1) Trazar perpendicular P a la recta L por el punto A.
2) Trazar las bisectrices de los ángulos determinados por las dos rectas.
3) Hallar intersecciones entre la perpendicular y las bisectrices. ( P y Q )
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas.
Caso 3: El punto A está comprendido entre dos rectas que son paralelas.
1) Trazar circunferencia con centro A y diámetro igual a distancia entre las rectas.
2) Trazar la paralela media M.
3) Hallar intersecciones entre la circunferencia y la paralela media. ( P y Q ).
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas y los radio son AP y AQ.
Si el punto B est´a en una de las dos rectas dadas, la construcción se reduce a encontrar
el centro, que es la intersecci´on entre la media paralela y la recta que pasa por B y es
perpendicular a la media paralela.
Problema 5: Dados dos puntos y una circunferencia,
construir una circunferencia que contenga a los dos
puntos y sea tangente a la circunferencia dada.
Caso 1: Si los puntos A y B son exteriores a la circunferencia dada.
1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)
Caso 2: Si los puntos A y B son interiores a la circunferencia dada.
La construcción es similar a la anterior:
1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)
Caso 3: Si uno de los puntos (A) est´a sobre la circunferencia dada y el otro
punto (B) es exterior (o interior) a la circunferencia C.
1) Trazar la recta AC.
2) Trazar el segmento AB.
3) Trazar la mediatriz del segmento AB.
4) Hallar intersecci´on de la AC y la mediatriz de AB (punto C1, que será el centro de
la circunferencia pedida.
5) Construir la circunferencia de centro C1 radio AC1.
Problema 6: Dadas dos circunferencias y un punto,
construir una circunferencia que contenga al punto y
que sea tangente a las dos circunferencias dadas.
Caso 1: Cuando el punto P es exterior a ambas circunferencias.
1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar el segmento C1C2 (Que uno los centros de las circunferencias dadas)
3) Hallar las intersecciones del segmento C1C2 con las circunferencias dadas.
4) Trazar la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P.
5) Trazar el segmento PH. (Une el punto P con el centro de homotecia H).
6) Hallar la intersecci´on entre el segmento PH y la circunferencia ABP. (punto M).
7) Ocultar las rectas tangentes, el segmento C1C2, los puntos A, B, H y K.
8) Para desarrollar el paso (9), seguir el problema 5 (P-P-C).
9) Construir la circunferencia que pasa por P y M, tangente a la circunferencia C1.
(Resultan dos circunferencias -rojas- que son las circunferencias pedidas).
10) Se pueden obtener dos circunferencias m´as, repitiendo los pasos anteriores para el
centro de homotecia inverso K.
Caso 2: Cuando el punto P pertenece a una de las circunferencias (C2).
1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar la recta PH. (del punto P al centro de homotecia H).
3) Hallar la intersecci´on de la recta PH con la circunferencia C1 (punto Q).
4) P y Q son los puntos de tangencia para una de las circunferencias buscadas.
5) Trazar las semirrectas C1Q y C2P.
6) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1Q y C2P. (punto T1, este es el centro de
una de las circunferencias buscadas).
7) Trazar la circunferencia de centro T1 y radio T1P. (circunferencia roja).
8) Ahora, trazar la recta PK. (del punto P al centro de homotecia inverso K).
9) Hallar la intersecci´on entre la recta PK y la circunferencia C1. (punto R)
10) P y R son los puntos de tangencia para otra de las circunferencias buscadas.
11) Trazar las semirrectas C1R y C2P.
12) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1R y C2P. (punto T2, este es el centro de
otra de las circunferencias buscadas).
13) Trazar la circunferencia de centro T2 y radio T2P. (circunferencia roja).
Problema 7: Dadas dos rectas y una circunferencia,
construir una circunferencia que sea tangente a las
rectas y a la circunferencia dada.
Caso 1: Cuando las rectas son paralelas y la circunferencia es tangente a las
dos rectas.
Caso 2: Cuando la circunferencia est´a comprendida entre dos rectas L y M.
1) Determinar el radio de la circunferencia dada O.
2) Trazar paralelas a cada lado de la recta L, a una distancia igual al radio de la
circunferencia O. (Rectas L1 y L2).
3) Trazar la bisectriz del ´angulo formado por las rectas L y M.
4) Hallar el sim´etrico del centro O respecto a la bisectriz. (punto O´)
5) Trazar la recta OO´.
6) Se˜nalar la intersecci´on entre la recta OO´y la recta paralela L1. (punto M).
7) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia de di´ametro OO´. Marcar los puntos
de tangencia D y E.
8) Trazar la circunferencia con centro en M y radio MD.
9) Hallar las intersecciones de la paralela L1 con la circunferencia CM de centro M.
(puntos A y B).
10) Trazar perpendiculares a la paralela L1 por los puntos A y B.
11) Hallar las intersecciones de las perpendiculares halladas con la bisectriz. (puntos P
y Q).
12) Los puntos P y Q son los centros de las circunferencias buscadas. Trazar circunferencias
con centros en P y Q tangentes a las rectas L y M.
13) Si se siguen estos pasos para la recta paralela L2, se obtienen otras dos
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y
que tiene este enunciado:
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede
ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar
una circunferencia que sea tangente a cada uno de los
tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de
ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.
Según Boyer (1986), los casos más sencillos (tres puntos
y tres rectas) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto a estos otros
seis (dos puntos y una recta; dos rectas y un punto; dos puntos
y una circunferencia; dos circunferencias y un punto, dos
circunferencias y una recta; un punto, una recta y una circunferencia)
en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos
restantes (dos rectas y una circunferencia, y tres circunferencias)
en el Libro II de las Tangencias. Aunque desgraciadamente
estos libros se han perdido, a través de Pappus de
Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los
nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el
primer matemático que resolvió por medio de la regla y el
compás el problema de encontrar la circunferencia tangentes a otras tres circunferencias.
EL PROBLEMA DE APOLONIO
Al hacer las combinaciones de tres objetos (puntos, rectas o circunferencias) resultan los
casos siguientes:
1. Dados tres puntos no colineales, construir una circunferencia que los contenga.
2. Dadas tres rectas, construir una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
3. Dados dos puntos y una recta, construir una circunferencia tangente a la recta y
que contenga a los dos puntos.
4. Dadas dos rectas y un punto, construir una circunferencia que sea tangente a las
dos rectas y que contenga al punto.
5. Dados dos puntos y una circunferencia, construir una circunferencia que contenga
a los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada.
Memorias XVI encuentro de geometría y IV de aritmética
6. Dadas dos circunferencias y un punto, construir una circunferencia que contenga al
punto y que sea tangente a las dos circunferencias dadas.
7. Dadas dos rectas y una circunferencia, construir una circunferencia que sea tangente
a las rectas y a la circunferencia dada.
8. Dadas dos circunferencias y una recta, construir una circunferencia que sea tangente
a la recta y a las dos circunferencias dadas.
9. Dadas una circunferencia, una recta y un punto, construir una circunferencia que
pase por el punto y sea tangente a la recta y la circunferencia dada.
10. Dadas tres circunferencias, construir una circunferencia que sea tangente a tres
circunferencias dadas.
Problema 1: Dados tres puntos no colineales, construir
una circunferencia que los contenga.
Pasos para la construcción:
1) Trazar los segmentos AB y BC.
2) Trazar las mediatrices de los segmentos AB y BC. (M1 y M2)
3) Señalar la intersección de las mediatrices M1 y M2. (Circuncentro o)
4) Dibujar la circunferencia de centro o y radio OA.
Problema 2: Dadas tres rectas, construir una
circunferencia que sea tangente a las tres rectas.
Caso 1: Si dos de las rectas son paralelas.
1) Sean R1 y R2 las rectas paralelas, y T1 la recta transversal.
2) Trazar la recta media paralela a R1 y R2. (Ya que los centros de las circunferencias
tangentes estarán en esta recta)
3) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R1 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes).
4) Trazar la bisectriz del ángulo formado por R2 y T1. (Ya que en la bisectriz estará el
centro de una de las circunferencias tangentes)
5) Señalar la intersección de R1 y T1, y la intersección de R2 y T1. (Puntos P y Q)
6) Trazar segmentos que pasen por P y Q perpendiculares respectivamente a R1.
(Aquí se determinan los radios de las circunferencias)
7) Trazar las circunferencias con centros en P y Q, respectivamente.
Caso 2: Si las tres rectas se cortan entre sí
Problema 3: Dados dos puntos y una recta, construir
una circunferencia tangente a la recta y que contenga
a los dos puntos.
Caso 1: Si los dos puntos dados A y B están en una recta paralela a la recta
L dada.
1) Se construye un punto C sobre la recta L.
2) Se traza la mediatriz del segmento AB
3) C es la intersección de la mediatriz y la recta dada.
4) Se construye la circunferencia que contiene a los puntos A, B y C.
Caso 2: Si los puntos A y B no están en una recta paralela a la recta L.
1) Trazamos la recta AB.
2) Hallamos la intersección de AB y la recta L. (El punto de intersección es M).
3) Trazar la circunferencia C1 de diámetro AB
4) Desde M trazar una tangente a la circunferencia C1.
5) Marcar el punto de tangencia T.
6) Trazar circunferencia con centro M y radio MT.
7) Hallar intersecciones entre la recta L y la circunferencia C2. (P y Q)
8) Construir las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q.
Caso 3: Cuando uno de los puntos est´a sobre la recta L.
1) Trazar el segmento AB.
2) Trazar la mediatriz del segmento AB.
3) Trazar perpendicular a la recta L, que pase por B.
4) Hallar intersecci´on de la mediatriz y la perpendicular a L. ( Punto C )
5) Trazar circunferencia con centro C y radio BC:
Caso 4: Cuando los puntos est´an sobre una recta perpendicular a la recta L.
1) Trazar la recta AB.
2) Señalar la intersecci´on de las recta L y AB. (punto P).
3) Hallar el punto medio M1 entre los puntos A y B. (La distancia PM1 es el radio de
la circunferencia buscada).
4) Trazar la perpendicular a la recta AB que pase por M1. (Sobre esta perpendicular
estará el centro de la circunferencia buscada).
5) Trazar la circunferencia con centro Ay radio PM1.
6) Marcar la intersecci´on entre la perpendicular 1 y la circunferencia CA. (punto C,
será el centro de la circunferencia buscada.
7) Trazar circunferencia con centro C y radio CA.
Problema 4: Dadas dos rectas y un punto, construir
una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y
que contenga al punto.
Caso 1: Si las rectas se cortan y el punto queda comprendido entre ellas.
1) Trazar la bisectriz del ángulo formado por las rectas L y M.
2) Hallar simétrico del punto A respecto a la bisectriz. (Simétrico de A es B)
3) Realizar la construcción del problema 3: (P-P-R).
Caso 2: Si el punto dado A pertenece a una de las rectas dadas.
1) Trazar perpendicular P a la recta L por el punto A.
2) Trazar las bisectrices de los ángulos determinados por las dos rectas.
3) Hallar intersecciones entre la perpendicular y las bisectrices. ( P y Q )
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas.
Caso 3: El punto A está comprendido entre dos rectas que son paralelas.
1) Trazar circunferencia con centro A y diámetro igual a distancia entre las rectas.
2) Trazar la paralela media M.
3) Hallar intersecciones entre la circunferencia y la paralela media. ( P y Q ).
4) P y Q son los centros de las circunferencias buscadas y los radio son AP y AQ.
Si el punto B est´a en una de las dos rectas dadas, la construcción se reduce a encontrar
el centro, que es la intersecci´on entre la media paralela y la recta que pasa por B y es
perpendicular a la media paralela.
Problema 5: Dados dos puntos y una circunferencia,
construir una circunferencia que contenga a los dos
puntos y sea tangente a la circunferencia dada.
Caso 1: Si los puntos A y B son exteriores a la circunferencia dada.
1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)
Caso 2: Si los puntos A y B son interiores a la circunferencia dada.
La construcción es similar a la anterior:
1) Trazar la mediatriz del segmento AB y la recta AB.
2) Construir circunferencia que pase por A y B, que corte a la circunferencia C.
3) Trazar eje radical de las circunferencias.
4) Hallar intersecci´on entre eje radical y la recta AB. (Punto M)
5) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia C.
6) Marcar los puntos de tangencia P y Q.
7) Trazar las circunferencias que pasan por A,B,P y A,B,Q. (Centros C1 y C2)
Caso 3: Si uno de los puntos (A) est´a sobre la circunferencia dada y el otro
punto (B) es exterior (o interior) a la circunferencia C.
1) Trazar la recta AC.
2) Trazar el segmento AB.
3) Trazar la mediatriz del segmento AB.
4) Hallar intersecci´on de la AC y la mediatriz de AB (punto C1, que será el centro de
la circunferencia pedida.
5) Construir la circunferencia de centro C1 radio AC1.
Problema 6: Dadas dos circunferencias y un punto,
construir una circunferencia que contenga al punto y
que sea tangente a las dos circunferencias dadas.
Caso 1: Cuando el punto P es exterior a ambas circunferencias.
1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar el segmento C1C2 (Que uno los centros de las circunferencias dadas)
3) Hallar las intersecciones del segmento C1C2 con las circunferencias dadas.
4) Trazar la circunferencia que pasa por los puntos A, B y P.
5) Trazar el segmento PH. (Une el punto P con el centro de homotecia H).
6) Hallar la intersecci´on entre el segmento PH y la circunferencia ABP. (punto M).
7) Ocultar las rectas tangentes, el segmento C1C2, los puntos A, B, H y K.
8) Para desarrollar el paso (9), seguir el problema 5 (P-P-C).
9) Construir la circunferencia que pasa por P y M, tangente a la circunferencia C1.
(Resultan dos circunferencias -rojas- que son las circunferencias pedidas).
10) Se pueden obtener dos circunferencias m´as, repitiendo los pasos anteriores para el
centro de homotecia inverso K.
Caso 2: Cuando el punto P pertenece a una de las circunferencias (C2).
1) Hallar los centros de homotecia directo e inverso. (directo H, inverso K)
2) Trazar la recta PH. (del punto P al centro de homotecia H).
3) Hallar la intersecci´on de la recta PH con la circunferencia C1 (punto Q).
4) P y Q son los puntos de tangencia para una de las circunferencias buscadas.
5) Trazar las semirrectas C1Q y C2P.
6) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1Q y C2P. (punto T1, este es el centro de
una de las circunferencias buscadas).
7) Trazar la circunferencia de centro T1 y radio T1P. (circunferencia roja).
8) Ahora, trazar la recta PK. (del punto P al centro de homotecia inverso K).
9) Hallar la intersecci´on entre la recta PK y la circunferencia C1. (punto R)
10) P y R son los puntos de tangencia para otra de las circunferencias buscadas.
11) Trazar las semirrectas C1R y C2P.
12) Hallar la intersecci´on entre las rectas C1R y C2P. (punto T2, este es el centro de
otra de las circunferencias buscadas).
13) Trazar la circunferencia de centro T2 y radio T2P. (circunferencia roja).
Problema 7: Dadas dos rectas y una circunferencia,
construir una circunferencia que sea tangente a las
rectas y a la circunferencia dada.
Caso 1: Cuando las rectas son paralelas y la circunferencia es tangente a las
dos rectas.
Caso 2: Cuando la circunferencia est´a comprendida entre dos rectas L y M.
1) Determinar el radio de la circunferencia dada O.
2) Trazar paralelas a cada lado de la recta L, a una distancia igual al radio de la
circunferencia O. (Rectas L1 y L2).
3) Trazar la bisectriz del ´angulo formado por las rectas L y M.
4) Hallar el sim´etrico del centro O respecto a la bisectriz. (punto O´)
5) Trazar la recta OO´.
6) Se˜nalar la intersecci´on entre la recta OO´y la recta paralela L1. (punto M).
7) Desde M, trazar tangentes a la circunferencia de di´ametro OO´. Marcar los puntos
de tangencia D y E.
8) Trazar la circunferencia con centro en M y radio MD.
9) Hallar las intersecciones de la paralela L1 con la circunferencia CM de centro M.
(puntos A y B).
10) Trazar perpendiculares a la paralela L1 por los puntos A y B.
11) Hallar las intersecciones de las perpendiculares halladas con la bisectriz. (puntos P
y Q).
12) Los puntos P y Q son los centros de las circunferencias buscadas. Trazar circunferencias
con centros en P y Q tangentes a las rectas L y M.
13) Si se siguen estos pasos para la recta paralela L2, se obtienen otras dos
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